문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 라그랑주 역학 (문단 편집) === 에너지 보존 === 라그랑지언의 시간 이동에 대한 불변은 에너지 보존을 이끌어낸다. [math(\delta t)] 동안의 이동에 불변이라고 하면 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} L(q_{i},\,\dot{q}_{i},\,t)&=L(q_{i},\,\dot{q}_{i},\,t+\delta t) \\&=L(q_{i},\,\dot{q}_{i},\,t)+\frac{\partial L}{\partial t}\delta t \end{aligned})] }}} 따라서 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial t}\delta t=0 \end{aligned})] }}} 한편, [math(\delta t \neq 0)]이므로 위 등식을 만족하려면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial t}=0 \end{aligned})] }}} 이다. 라그랑지언의 시간 미분을 생각해보자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}L}{{\rm d}t}=\sum_{j} \left[ \frac{\partial L}{\partial q_{j}} \dot{q}_{j}+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}} \ddot{q}_{j} \right] \end{aligned})] }}} 오일러-라그랑주 방정식에 의해 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial q_{j}}=\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}} \end{aligned})] }}} 제 1항을 교체 하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}L}{{\rm d}t}&=\sum_{j} \left[ \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}} \dot{q}_{j}+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}} \ddot{q}_{j} \right] \\ &=\sum_{j} \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\left[\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}} \dot{q}_{j} \right] \end{aligned})] }}} 이상에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\left[L-\sum_{j}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}} \dot{q}_{j} \right]=0 \end{aligned})] }}} 이에 각괄호 안의 양은 한 상수 임을 알 수 있는데, 그 상수를 [math(-H)][* 사실 각괄호 안은 라그랑지언의 [[르장드르 변환]]인 [[해밀토니언]]이다.]라 하자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} L-\sum_{j}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}} \dot{q}_{j}=-H \end{aligned})] }}} 그런데 일반적으로 퍼텐셜 에너지는 일반화 속도에 의존하지 않기 때문에 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} L-\sum_{j}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}} \dot{q}_{j}=-H \end{aligned})] }}} 이고, 계가 스클로노믹하다면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{j}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}} \dot{q}_{j}=2T \end{aligned})] }}} 임을 위에서 증명했다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} L-2T=-H \end{aligned})] }}} 라그랑지언의 정의 [math(L=T-U)]를 이용하면 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} T+U=E=H \end{aligned})] }}} 즉, 라그랑지언의 시간 이동에 대한 불변은 에너지의 보존을 이끌어낸다. 그러나 해밀토니언 [math(H)]가 다음의 조건을 만족할 때만 총 에너지와 같음에 유의해야 한다. i. 직교 좌표와 일반화 좌표 간의 변환 공식에 시간이 포함되지 않아야 한다. i. 퍼텐셜 에너지가 속도에 의존하지 않아야 한다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기